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奧林匹亞決賽題目(有點難度喔)~~

有一堆彈珠甲拿1顆後

再拿整袋的5分之1乙拿1顆後

再拿整袋的5分之1丙拿1顆後

再拿整袋的5分之1丁拿1顆後

再拿整袋的5分之1戊拿1顆後

再拿整袋的5分之1請問:最少有幾顆彈珠才能輔合以上的式子??(是最少喔)不適3906我們老師說還有更少!!!
設原來有x顆

最後剩y顆

x

y都是整數

列出x

y的關係式：0.8{0.8{0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}-1}-1}=y→0.8{0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}-1}=(5/4)y 1→0.8{0.8[0.8(x-1)-1]-1}=(5/4)^2*y (5/4) 1→0.8[0.8(x-1)-1]=(5/4)^3*y (5/4)^2 (5/4) 1→0.8(x-1)=(5/4)^4*y (5/4)^3 (5/4)^2 (5/4) 1→x=(5/4)^5*y (5/4)^4 (5/4)^3 (5/4)^2 (5/4) 1→x=(3125/1024)y 2101/256→變成不定方程1024x-3125y=8404用輾轉相除法縮小係數3125y 8404≡0(mod 1024) →53y 212≡0(mod 1024)令53y 212=1024a1024a-212≡0(mod 53) → 17a 0≡0(mod 53)

a=0符合

代回53y 212=1024a得y=-4

代回1024x-3125y=8404得x=-4得特解(x

y)=(-4

-4)故通解為x=-4 3125t

y=-4 1024t

t為整數故最少3121顆(接下來依序是6246顆、9371顆、12496顆.....

3906顆並不符合)
類似題：http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=-2