6232

和親數問題（粉難的）

‧有兩數ｘ及ｙ

已知ｘ和ｙ不是同一數字‧ｘ的所有因數（除ｘ自己外）加起

會等於ｙ‧ｙ的所有因數（除ｙ自己外）加起

會等於ｘ‧問ｘ及ｙ最少各是什麼？聽聞這是條沒有辦法可計的數

有這麼可怕嗎？當然我知道答案

不過我想知道計算的方法
你說的是畢達哥拉斯兄弟說的和親數220與284吧這2個數字除去自己的所有正因數相加後會變成另一個數字如果一對正整數

他們的所有正因數和都是對方

這樣一對數就稱為「親和數」(amicable numbers)

220、284就是史上第一對被發現的親和數。

大約西元850年Thabit ibn Qurra 發表親和數的通式

如果p = 3 × 2n-1 - 1

q = 3 × 2n - 1

r = 9 × 22n-1 - 1

n 是大於1的整數且p、q、r都是質數

則 2npq 和 2nr 就是一對親和數

但是Thabit ibn Qurra 的這個通式無法表示很多親和數。

第一對親和數(220

284)就是n=2的結果。

令人疑惑的是

往後親和數的發現卻相當緩慢

直到西元1636年被費瑪(Fermat)發現(17296

18416)

它是habit ibn Qurra通式n=4的結果。

到了西元1638年

笛卡兒(Descartes)發現親和數親和數(9363584

9437056)

而它是habit ibn Qurra通式n=7的結果。

可是並非所有親和數都可以化成為Thabit ibn Qurra的通式

例如 (6232

6368) 。

尤拉(Euler)則在西元1747年根據Thabit ibn Qurra通式

推導出「如果 p ≡ 2m(2n-m 1)-1

q ≡ 2n(2n-m 1)-1

r ≡ 2n m(2n-m 1)2-1都是質數

其中m與n是整數

且1≦m≦n-1

則 2npq 與 2nr 就是親和數」

他找出30組親和數

後來陸續發表

增加至64組

但是其中兩組分別在西元1909年與1914年被證明並不是親和數

而且很多親和數也無法用尤拉的公式計算出來。

一件令人驚訝的事

西元1866年一位僅16歲男孩 Nicolo Paganini竟發現僅大於(220

284)的親和數 (1184

1210)。

. 目前數學家藉助於電子計算機的運算能力

繼續尋找新的親和數

並努力證明親和數是否是無限多組

並努力找出一個可以表示所有親和數的公式

之前

Thabit ibn Qurra與 Euler顯然是失敗的。

一批數學家致力於尋找互質的親和數

根據他們的猜測

假設有互質的親和數

一定是大於25位數字(千京位)的大數

而他們的乘積至少有22個相異的質因數。

而到西元2004年七月6日

已經證明發現了7093056組親和數

而其中有2045組的位數是介於1000~17326之間。

在這個網站 http://amicable.homepage.dk/tables.htm 你可以查到最新尋找親和數的相關紀錄。

參考資料 費瑪最後定理以及 http://amicable.homepage.dk/tables.htm
220跟284
好強喔!!!